\section{$n$ 阶行列式}

\begin{frame}{$n$ 阶行列式}

我们现在来给出 $n$ 阶行列式的定义。 从这一节开始， 我们总是取一固定的数域 $P$作为基础， 所谈到的数都是指这个数域 $P$ 中的数， 所考虑的行列式也都是数域 $P$ 上的行列式，以后就不重复说明了。

\pause
在给出 $n$ 阶行列式的定义之前，先来看一下二阶和三阶行列式的定义。我们有
\[
\tag{1}
  \begin{vmatrix}
    a_{11} & a_{12}  \\
  a_{21} & a_{22}
\end{vmatrix}= a_{11} a_{22}-a_{12} a_{21}, 
\]
\pause
\[
\tag{2}
\begin{aligned}
  \begin{vmatrix}
      a_{11} & a_{12} & a_{13}  \\
      a_{21} & a_{22} & a_{23} \\
    a_{31} & a_{32} & a_{33}
\end{vmatrix}&= a_{11} a_{22} a_{33}+a_{12} a_{23} a_{31}+a_{13} a_{21} a_{32}\\
& \quad -a_{13} a_{22} a_{31}-a_{12} a_{21} a_{33}-a_{11} a_{23} a_{32} .
\end{aligned}
\]
\pause
从二阶和三阶行列式的定义中可以看出， 它们都是一些乘积的代数和，而每一项乘积都是由行列式中位于不同的行和不同的列的元素构成的，并且展开式恰恰就是由所有这种可能的乘积组成。在 $n=2$ 时，由不同行不同列的元素构成的乘积只有 $a_{11} a_{22}$ 与 $a_{12} a_{21}$ 这两项，在 $n=3$ 时也不难看出只有 (2) 中的 6 项。这是二阶和三阶行列式的特征的一个方面。

\end{frame}

\begin{frame}
另一方面，每一项乘积都带有符号。这符号是按什么原则决定的呢? 在三阶行列式的展开式 (2) 中， 项的一般形式可以写成
\[
a_{1_{1} j_{1}} a_{2 j_{2}} a_{3 j_{3}}, \tag{3}
\]
其中 $j_{1} j_{2} j_{3}$ 是 $1,2,3$ 的一个排列。 可以看出， 当 $j_{1} j_{2} j_{3}$ 是偶排列时，对应的项在 (2) 中带有正号， 当 $j_{1} j_{2} j_{3}$ 是奇排列时带有负号。二阶行列式显然也符合这个原则。

\pause
上面对二阶和三阶行列式的分析对于我们理解一般的定义是有帮助的。 下面就来给出 $n$ 阶行列式的定义。

\begin{definition}%定义4 
$n$ 阶行列式
\[
  \begin{vmatrix}
  a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n}  \tag{4}\\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2 n} \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
a_{n 1} & a_{n 2} & \cdots & a_{n n}
\end{vmatrix}
\]
等于所有取自不同行不同列的 $n$ 个元素的乘积
\begin{equation*}
a_{1 j_{1}} a_{2 j_{2}} \cdots a_{n j_{n}} \tag{5}
\end{equation*}
的代数和，这里 $j_{1} j_{2} \cdots j_{n}$ 是 $1,2, \cdots, n$ 的一个排列， 每一项 (5) 都按下列规则带有符号： 当 $j_{1} j_{2} \cdots j_{n}$ 是偶排列时， (5)带有正号， 当 $j_{1} j_{2} \cdots j_{n}$ 是奇排列时， (5) 带有负号。
\end{definition}

\end{frame}

\begin{frame}

\addtocounter{theorem}{-1}
\begin{definition}[续]
这一定义可写成
\[
  \begin{vmatrix}
  a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n}  \tag{6}\\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2 n} \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
a_{n 1} & a_{n 2} & \cdots & a_{n n}
\end{vmatrix}=\sum_{j_{1} j_{2} \cdots j_{n}}(-1)^{\tau\left(j_{1} j_{2} \cdots j_{n}\right)} a_{1 j_{1}} a_{2 j_{2}} \cdots a_{n j_{n}},
\]
这里 $\sum_{j_{1} j_{2} \cdots j_{n}}$ 表示对所有 $n$ 阶排列求和。
上式等号右边也称为行列式的\emph{完全展开式}。
\end{definition}

\pause
定义表明， 为了计算 $n$ 阶行列式， 首先作所有可能由位于不同行不同列元素构成的乘积。把构成这些乘积的元素按行指标排成自然顺序， 然后由列指标所成的排列的奇偶性来决定这一项的符号。

\pause
显然，$1$阶行列式$|a|$的值就是$a$.

\pause
由定义立即看出， $n$ 阶行列式是由 $n !$ 项组成的。

\pause
容易看出， 当行列式的元素全是数域 $P$ 中的数时， 它的值也是数域 $P$ 中的一个数。

\end{frame}

\begin{frame}
下面来看几个例子。



\begin{example}%例1 
计算行列式
\[
  \begin{vmatrix}
  0 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 2 & 0 \\
0 & 3 & 0 & 0 \\
4 & 0 & 0 & 0
\end{vmatrix}
\]
\pause
这是一个 $4$ 阶行列式， 在展开式中应该有 $4 !=24$ 项。 但是由于出现很多的零， 所以不等于零的项数就大大减少了。 
因为 $4$ 阶行列式中每个项是由 $4$ 个元素相乘而得。如果一项中包含零元素，该项等于零，因而对完全展开式中的求和没有贡献。
为了所得的项不等于零， 这 $4$ 个元素必须都不等于零。 
现在这 $4$ 个非零元素恰好位于不同行
不同列。所以它们的乘积是这个行列式唯一的一项。 前面所带的符号为
\[
(-1)^{\tau(4321)}=1.
\]
\pause
所以
\[
  \begin{vmatrix}
  0 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 2 & 0 \\
0 & 3 & 0 & 0 \\
4 & 0 & 0 & 0
\end{vmatrix}=1 \times 2 \times 3 \times 4=24.
\]
\end{example}

\end{frame}

\begin{frame}
  \begin{example}%例2 
  计算上三角形行列式
\[
  \begin{vmatrix}
  a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n}  \tag{7}\\
0 & a_{22} & \cdots & a_{2 n} \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
0 & 0 & \cdots & a_{n n}
\end{vmatrix}
\]
\pause
我们先来看一下，形如 (5) 式的项有哪些不为零， 然后再来决定它们的符号。 项的一般形式为
\[
a_{1 j_{1}} a_{2 j_{2}} \cdots a_{n j_{n}},
\]
在行列式中第 $n$ 行的元素除去 $a_{n n}$ 以外全为零， 因之， 只要考虑 $j_{n}=n$ 的那些项。 在第 $n-1$行中， 除去 $a_{n-1, n-1}, a_{n-1, n}$ 外， 其余的项全为零， 因之 $j_{n-1}$ 只有 $n-1, n$ 这两个可能。 由于 $j_{n}=$ $n$, 所以 $j_{n-1}$ 就不能等于 $n$ 了， 从而 $j_{n-1}=n-1$. 这样逐步推上去， 不难看出， 在完全展开式中，除去
$
a_{11} a_{22} \cdots a_{n n}
$
这一项外， 其余的项全是 $0$. 
而这一项的列指标所成的排列是一个偶排列， 所以这一项带正号。
\pause
于是
\[
  \begin{vmatrix}
  a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n}  \tag{8}\\
0 & a_{22} & \cdots & a_{2 n} \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
0 & 0 & \cdots & a_{n n}
\end{vmatrix}=a_{11} a_{22} \cdots a_{n n}.
\]
\end{example}
\end{frame}


\begin{frame}
\addtocounter{theorem}{-1}
\begin{example}[续]
  换句话说，这个行列式就等于主对角线 (从左上角到右下角这条对角线) 上元素的乘积。
\pause
  作为 (8) 的特殊情形， 有
  \begin{align*}
     \begin{vmatrix}
      d_{1} & 0 & \cdots & 0 \\
    0 & d_{2} & \cdots & 0 \\
  \vdots & \vdots & & \vdots \\
0 & 0 & \cdots & d_{n}
\end{vmatrix}&= d_{1} d_{2} \cdots d_{n},  \tag{9}\\
\begin{vmatrix}
1 & 0 & \cdots & 0 \\
0 & 1 & \cdots & 0 \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
0 & 0 & \cdots & 1
\end{vmatrix}&= 1 . \tag{10}
\end{align*}
\pause
主对角线以外的元素全为零的行列式称为\emph{对角形行列式}。 (9) 说明了对角形行列式的值等于主对角线上元素的乘积。
\end{example}

\pause
在行列式的定义中， 为了决定每一项的正负号，我们把 $n$ 个元素按行指标排起来。
事实上，数的乘法是交换的，因而这 $n$ 个元素的次序是可以任意写的，
我们也可把这 $n$ 个元素按列指标排起来。
\pause
设项$a_{1j_1}a_{2j_2}\cdots a_{nj_n}$
重排后变成了$a_{i_11}a_{i_22}\cdots a_{i_n n}$. 此时的符号该如何表示呢？

\end{frame}

\begin{frame}

下面我们来证明项$a_{i_11}a_{i_22}\cdots a_{i_n n}$的符号可用行指标构成的排列的符号来表示，
即$(-1)^{\tau(i_1i_2\cdots i_n)}$.
\pause
诚然，从$a_{1j_1}a_{2j_2}\cdots a_{nj_n}$重排为$a_{i_11}a_{i_22}\cdots a_{i_n n}$
可以通过一系列元素的对换来实现。 每作一次对换，元素的行指标与列指标所成的排列
也做了一次对换。
\pause
当$a_{1j_1}a_{2j_2}\cdots a_{nj_n}$经一系列元素的对换变成$a_{i_11}a_{i_22}\cdots a_{i_n n}$时，
行指标所成的自然排列$12\cdots n$经一系列对换变成了排列$i_1i_2\cdots i_n$,
列指标所成的排列$j_1j_2\cdots j_n$经一系列对换变成了自然排列$12\cdots n$.
\pause
由定理~\ref{10F}~知
对换次数的奇偶性与$i_1i_2\cdots i_n$的奇偶性相同，
也与$j_1j_2\cdots j_n$的奇偶性相同。
\pause
这样，排列$i_1i_2\cdots i_n$与$j_1j_2\cdots j_n$有相同的奇偶性。
从而 $(-1)^{\tau(i_1i_2\cdots i_n)}=(-1)^{\tau(j_1j_2\cdots j_n)}$.
\pause
特别地，项$a_{i_11}a_{i_22}\cdots a_{i_n n}$的符号就是行指标构成的排列
$i_1i_2\cdots i_n$的符号。


\begin{remark}
  一般地，$n$ 阶行列式中的项可以写成
\begin{equation*}
a_{i_1 j_{1}} a_{i_2 j_{2}} \cdots a_{i_n j_{n}} \tag{11}
\end{equation*}
其中 $i_{1} i_{2} \cdots i_{n}, j_{1} j_{2} \cdots j_{n}$ 是两个 $n$ 阶排列。
(11) 的符号等于
\begin{equation*}
  (-1)^{\tau\left(i_{1} i_{2} \cdots i_{n}\right)+\tau\left(j_{1} j_{2} \cdots j_{n}\right)}. 
  \tag{12}
\end{equation*}
要证明这点，只用注意到我们可以通过一系列元素的对换来实现由 (11) 变到 (13),
而每次对换元素时，
和$\tau\left(i_{1} i_{2} \cdots i_{n}\right)+\tau\left(j_{1} j_{2} \cdots j_{n}\right)$的奇偶性是不变的，
因为排列$i_{1} i_{2} \cdots i_{n}$和$j_{1} j_{2} \cdots j_{n}$同时改变了奇偶性。
\end{remark}
\end{frame}

%\begin{frame}
%
%在行列式的定义中， 为了决定每一项的正负号，我们把 $n$ 个元素按行指标排起来。
%事实上，数的乘法是交换的，因而这 $n$ 个元素的次序是可以任意写的，一般地， $n$ 阶行列式中的项可以写成
%\begin{equation*}
%a_{i_1 j_{1}} a_{i_2 j_{2}} \cdots a_{i_n j_{n}} \tag{11}
%\end{equation*}
%其中 $i_{1} i_{2} \cdots i_{n}, j_{1} j_{2} \cdots j_{n}$ 是两个 $n$ 阶排列。
%\pause
%利用排列的性质， 不难证明， 
%\begin{observation*}
%(11) 的符号等于
%\begin{equation*}
%  (-1)^{\tau\left(i_{1} i_{2} \cdots i_{n}\right)+\tau\left(j_{1} j_{2} \cdots j_{n}\right)}. 
%  \tag{12}
%\end{equation*}
%\end{observation*}
%
%\pause
%例如， $a_{21} a_{32} a_{14} a_{43}$ 是 $4$ 阶行列式中一项， $\tau(2314)=2, \tau(1243)=1$, 
%于是它的符号应为 $(-1)^{2+1}=-1$. 
%如按行指标排列起来， 就是 $a_{14} a_{21} a_{32} a_{43}$, 由$\tau(4123)=3$ 也可知它的符号为 $(-1)^{3}=-1$.
%\end{frame}
%
%\begin{frame}
%
%  \begin{proof}[用例子说明即可]
%事实上， 为了根据定义来决定 (11) 的符号， 就要把这 $n$ 个元素重新排一下， 使得它们的行指标成自然顺序，也就是排成
%\begin{equation*}
%a_{1 j_{1}^{\prime}} a_{2 j_{2}^{\prime}} \cdots a_{n j_{n}^{\prime}} \tag{13}
%\end{equation*}
%于是它的符号是
%\begin{equation*}
%(-1)^{\tau\left(j_{1}' j_{2}' \cdots j_{n}^{\prime}\right)}. \tag{14}
%\end{equation*}
%现在来证明， (12) 与 (14) 是一致的。 我们知道， 由 (11) 变到 (13) 可以经过一系列元素的对换来实现。 每作一次对换，元素的行指标与列指标所成的排列 $i_{1} i_{2} \cdots i_{n}$ 与 $j_{1} j_{2} \cdots j_{n}$ 就都同时作一次对换，也就是 $\tau\left(i_{1} i_{2} \cdots i_{n}\right)$ 与 $\tau\left(j_{1} j_{2} \cdots j_{n}\right)$ 同时改变奇偶性，因而它们的和
%\[
%\tau\left(i_{1} i_{2} \cdots i_{n}\right)+\tau\left(j_{1} j_{2} \cdots j_{n}\right)
%\]
%的奇偶性不改变。 这就是说， 对 (11) 作一次元素的对换不改变 (12) 的值。 因此，在一系列对换之后有
%\[
%(-1)^{\tau\left(i_{1} i_{2} \cdots i_{n}\right)+\tau\left(j_1 j_{2} \cdots j_{n}\right)}=(-1)^{\tau(12 \cdots n)+\tau\left(j_{1}^{\prime} j_{2}^{\prime} \cdots j_{n}^{\prime}\right)}=(-1)^{\tau\left(j_{1}^{\prime} j_{2}^{\prime} \cdots j_{n}^{\prime}\right)} .
%\]
%这就证明了 (12) 与 (14) 是一致的。
%\end{proof}
%\end{frame}
%
%\begin{frame}
%按 (12) 来决定行列式中每一项的符号的好处在于， 行指标与列指标的地位是对称的， 因而为了决定每一项的符号， 
\begin{frame}
这样，我们同样可以把每一项按列指标排起来， 于是定义又可写成
\[
  \begin{vmatrix}
  a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n}  \tag{15}\\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2 n} \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
a_{n 1} & a_{n 2} & \cdots & a_{n n}
\end{vmatrix}=\sum_{i_{1} i_{2} \cdots i_{n}}(-1)^{\tau\left(i_{1} i_{2} \cdots i_{n}\right)} a_{i_{1} 1} a_{i_{2} 2} \cdots a_{i_{n} n} .
\]
\pause
由此即得行列式的下列性质：
\begin{proposition*}[性质 1]
  行列互换， 行列式不变。即
\[
  \begin{vmatrix}
    a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n}  \tag{16}\\
  a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2 n} \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
a_{n 1} & a_{n 2} & \cdots & a_{n n}
\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{21} & \cdots & a_{n 1} \\
a_{12} & a_{22} & \cdots & a_{n 2} \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
a_{1 n} & a_{2 n} & \cdots & a_{n n}
\end{vmatrix} .
\]
\end{proposition*}
\end{frame}
\begin{frame}
  \begin{proof}
  事实上， 元素 $a_{i j}$ 在 (16) 的右端位于第 $j$ 行第 $i$ 列， 这就是说， $i$ 是它的列指标， $j$ 是它的行指标。 因之，把右端按 (15) 展开就等于
\[
\sum_{j_{1} j_{2} \cdots j_{n}}(-1)^{\tau\left(j_1 j_{2} \cdots j_{n}\right)} a_{1 j_{1}} a_{2 j_{2}} \cdots a_{n j_{n}}
\]
它正是左端按 (6)的展开式。
\end{proof}

\pause
(16) 中等式右边的行列式称为左边行列式的\emph{转置行列式}。 性质 1 说明行列式转置，值不变。

\pause
性质 1 表明， 在行列式中行与列的地位是对称的， 因之凡是有关行的性质， 对列也同样成立。例如，由 (8) 即得下三角形的行列式
\[
  \begin{vmatrix}
  a_{11} & 0 & 0 & \cdots & 0  \tag{17}\\
a_{21} & a_{22} & 0 & \cdots & 0 \\
\vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\
a_{n 1} & a_{n 2} & a_{n 3} & \cdots & a_{n n}
\end{vmatrix}=a_{11} a_{22} \cdots a_{n n} .
\]
\pause
下面我们所谈的行列式的性质大多是对行来说的， 对于列也有相同的性质，就不重复了。
\end{frame}


\begin{frame}{小结}

  \begin{enumerate}
    \item $n$阶行列式的定义式 (完全展开式) 如何？求和项的乘积中以行指标从小到大排列或以列指标从小到大排列的两个公式都写下。并解释下定义式的含义。
    \item 上三角形行列式的公式？
    \item 何为转置行列式？转置对行列式的效果是？
  \end{enumerate}
  
\end{frame}
